第6回 軌道シミュレータver.3.1 -揚力-

軌道シミュレータver.3.0に空気による揚力を追加しver.3.1にアップデートします。

ピッチングにおいて大部分を占めるx方向（ホーム方向）速度に垂直なy,z方向(左右、上下方向)への揚力を考えます。

揚力はボールの進行方向と垂直な向きに働き進行方向を曲げる力です。

この垂直な向き作用する力には、「ボールのスピードは変えずに、向きだけを変える」という特徴があります。

揚力Lは以下のような式で表されます。

抗力Dの式の抗力係数CDが揚力係数CLに変わっただけで同じ形をしています。

　

 (CL:揚力係数、ρ:空気の密度、v:ボールの速度、A:ボールの断面積)

　

4シームやカーブのように回転による圧力差によって発生する揚力を「マグヌス力」と呼びます。

マグヌス力の向きはボール回転軸の方向に依存します。

では式を立てます。

[計算式]

 方向の定義

x軸をホーム方向、y軸を一塁方向、z軸を上空方向と定義。

ボール回転軸は、z軸からx-y平面に向かう角度（真上から水平に向かう角度）をθs、

x軸からy軸に向かう角度（ホーム方向から一塁側へ向かう角度）をφsと定義。
今回は4シームとしてθs=110度、Φs=-80度とします。

 

x方向

ver.3.0と同じ抗力を考慮した式です。

t=0秒の時

y方向

揚力はボールの回転軸に応じて各方向へ振り分けます。

t=0秒の時

z方向

y方向と同様の計算ですが、加速度に重力加速度が追加されます。

t=0秒の時

ここで、

v0:リリース時の球速、x0,y0,z0:リリース位置、

θ:上向きリリース角度、φ:横向きリリース角度、t:リリース後経過時間

[計算式おわり]

ボールの空間位置x,y,zはtを代入すれば求まる形の式にできないため、①-⑤式を使ってエクセルで数値積分の方法で求めます。

では、エクセルへ入力していきます。

単位系はSI単位系です。

 [エクセル入力]

まず初期条件を入力。

ボールの回転軸θs、φsを追加します。

4シームを想定していますが実際の人間が投げる球は完全なバックスピンではなく、ジャイロ成分やサイドスピン(シュート)成分が混じってしまいます。

回転軸の傾きは人によりさまざまですが、典型的な値としてθs=110度,φs=-80度とします。

揚力係数CD、抗力係数CDの値は個人で計算や実測をするのが難しいためネットで拾った値を使います。

　その他の値はver3.0と同じです。

　

　次に時間tを少しずつ増加させて複数入力します。

ver.3.0と同じく、0.02秒おきにしました。

　数値積分をするので時間間隔が小さいほど計算結果は正確になります。

　

　X方向

時間t列のとなりに、d2x/dt2とdx/dtとxの列を挿入します。

そしてdx/dt列の一番上のセルに、時間t=0における速度を入力します。(④式)

 

d2x/dt2列に、dx/dtからd2x/dt2を計算する式を入力します。(①式)

再びdx/dt列に戻り、t>0のセルに数式を入力します。

②式の計算を数値積分で行うために下図のように数式を入力します。

x列の一番上のセルに、時間t=0におけるx位置を入力します。(⑤式)

xのt>0について③式の計算を数値積分で行うために下図のように数式を入力します。

x位置の計算はこれで完成です。

Ｙ方向

d2y/dt2とdy/dtとyの列を挿入します。

そしてd2y/dt2列に、dx/dtからd2y/dt2を計算する式を入力します。(⑥式)

dy/dt列の一番上のセルに、時間t=0における速度を入力します。(⑨式)

引き続きdy/dt列で、t>0のセルに数式を入力します。

⑦式の計算を数値積分で行うために下図のように数式を入力します。

y列の一番上のセルに、時間t=0におけるy位置を入力します。(⑩式)

yのt>0について⑧式の計算を数値積分で行うために下図のように数式を入力します。

y位置の計算はこれで完成です。

Z方向

d2z/dt2とdz/dtとzの列を挿入します。

そしてd2z/dt2列に、dx/dtからd2yzdt2を計算する式を入力します。(⑪式)

重力加速度gもお忘れなく。

dz/dt列の一番上のセルに、時間t=0における速度を入力します。(⑮式)

引き続きdz/dt列で、t>0のセルに数式を入力します。

⑫式の計算を数値積分で行うために下図のように数式を入力します。

z列の一番上のセルに、時間t=0におけるz位置を入力します。(⑮式)

zのt>0について⑬式の計算を数値積分で行うために下図のように数式を入力します。

z位置の計算はこれで完成です。

これで各時刻におけるボール位置x,y,zの値が計算できました。

[エクセル入力おわり]

計算した値を、散布図でグラフ表示します。

[エクセルグラフ化]

このようになりました。

グラフ上の点は0.02秒ごとのボール位置を表します。

揚力なしのver.3.0と重ねてみます。

揚力なしではワンバウンドしていた球が、揚力ありではホップして低い目いっぱいに決まっています。

また回転軸が傾いているので少しシュートもしています。

揚力なしの場合と比べホームベース上での位置を比較すると、

揚力ありでは上方向に50cmホップし、内側へ17cmシュートしています。

[エクセルグラフ化おわり]

では、また。

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